Περιγραφή του μαθήματος
Ο σκοπός του μαθήματος της Μαθηματικής Ανάλυσης, ως ένα μάθημα υποδομής, είναι να παρέχει στους φοιτητές τις αναγκαίες μαθηματικές γνώσεις, εργαλεία και τεχνικές ώστε να μπορούν να χειριστούν μια σειρά από προβλήματα τα οποία εμφανίζονται σε εφαρμογές της επιστήμης των υπολογιστών.
Περιεχόμενο
Γραμμική Άλγεβρα: Πίνακες, Βασικές έννοιες, Κατηγορίες Πινάκων, Πράξεις Πινάκων και Ιδιότητες, Αντιστροφή πίνακα, Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών, Μέθοδος απαλοιφής του Gauss, Υπολογισμός Αντίστροφου με πράξεις γραμμών. Ορίζουσες – Μέθοδοι Υπολογισμού – Ιδιότητες, Υπολογισμός Αντίστροφου με Ορίζουσες. Γραμμικά Συστήματα, Μέθοδος του Αντίστροφου, Μέθοδος των Οριζουσών, Μέθοδος του Επαυξημένου Πίνακα, Διερεύνηση Παραμετρικών Συστημάτων.
Ακολουθίες – Σειρές: Ακολουθίες, Σύγκλιση και Όρια Ακολουθίας, Υπολογισμός Ορίου – Άρση Απροσδιοριστίας, Σειρές, Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Θετικών Όρων: Σύγκρισης, D’ Alembert, Cauchy και Λόγου, Κριτήριo Απόλυτης Σύγκλισης, Κριτήριο Leibniz (σειρές εναλλασόμενου προσήμου), Δυναμοσειρές: Ακτίνα και Περιοχή Σύγκλισης.
Διαφορικός λογισμός: Πραγματικές συναρτήσεις, Όρια συναρτήσεων, Συνέχεια, Παράγωγος, Κανόνες Παραγώγισης, Εφαρμογές των Παραγώγων, Θεώρημα Μέσης Τιμής, Σειρές Taylor, Κανόνας De Hospital, Μελέτη Συνάρτησης.
Ολοκληρωτικός Λογισμός: Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ολοκλήρωση κατά Μέρη – κατά Παράγοντες – με Αντικατάσταση Ορισμένο ολοκλήρωμα, Ιδιότητες, Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Ο.Λ.), Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ο.Λ., Γεωμετρικές Εφαρμογές των Ορισμένων Ολοκληρωμάτων.
Αξιολόγηση φοιτητών
Η γραπτή τελική εξέταση του μαθήματος που περιλαμβάνει 5-6 κύρια ερωτήματα ανάπτυξης, που εμπλέκουν τα παρακάτω ζητούμενα:
- Επίλυση – Διερεύνηση Γραμμικών Συστημάτων
- Μελέτη της φύσης σειρών – Υπολογισμός περιοχής σύγκλισης δυναμοσειρών
- Μελέτη συνάρτησης
- Εφαρμογή θεωρημάτων του διαφορικού λογισμού (Θεώρημα Μέσης Τιμής, Taylor, De Hospital, .κ.λπ.)
- Υπολογισμός Ορισμένων ή Αόρστων Ολοκληρωμάτων
- Γεωμετρικές εφαρμογές των ορισμένων ολοκληρωμάτων
Το ως άνω σχήμα αξιολόγησης στο θεωρητικό και στο εργαστηριακό μέρος του μαθήματος γνωστοποιείται στους ενδιαφερόμενους φοιτητές (α) μέσω της ιστοσελίδας του τμήματος, (β) μέσω των σελίδων του μαθήματος στην ηλεκτρονική πλατφόρμα Moodle, και (γ) με ανακοινώσεις στη διάρκεια των πρώτων διαλέξεων και συναντήσεων στο εργαστήριο κατά την έναρξη του κάθε ενός ακαδημαϊκού εξαμήνου.
Στόχος του μαθήματος
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτήτης/τρια αναμένεται να είναι σε θέση να:
- Αναγνωρίζει τις βασικές κατηγορίες πινάκων και να μπορεί να εκτελέσει πράξεις μεταξύ πινάκων. Επίσης, πρέπει να είναι σε θέση να διακρίνει πότε δύο πίνακες μπορούν να συμμετέχουν σε μια συγκεκριμένη πράξη (πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό), καθώς επίσης να κατανοήσει ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετική πράξη.
- Υπολογίζει την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή ενός πίνακα, χρησιμοποιώντας πράξεις γραμμών με τον αλγόριθμο απαλοιφής των Gauss – Jordan.
- Υπολογίζει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα, χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μπορεί να εκτιμήσει την πολυπλοκότητα του υπολογισμού μέσω της συγκεκριμένης μεθοδολογίας για ορίζουσες μεγάλης διάστασης και να αναγνωρίσει την αποτελεσματικότητα άλλων μεθοδολογιών υπολογισμού (τριγωνοποίηση του πίνακα).
- Επιλύει, συστήματα γραμμικών εξισώσεων επιλέγοντας κατά περίπτωση την κατάλληλη μεθοδολογία πινάκων. Επιπλέον, να είναι σε θέση να διερευνήσει συστήματα των οποίων οι συντελεστές εξαρτώνται από μια παράμετρο.
- Γνωρίζει την έννοια του ορίου ακολουθίας και μπορεί να υπολογίσει όρια ακολουθιών χρησιμοποιώντας τους κανόνες υπολογισμού των ορίων.
- Κατανοεί την έννοια της σειράς, ως άθροισμα άπειρων όρων μιας ακολουθίας και είναι σε θέση να εκτιμήσει την διαφορά μεταξύ συγκλίνουσας και μη συγκλίνουσας σειράς. Επίσης, μπορεί να διακρίνει τις σειρές θετικών όρων και μπορεί να εφαρμόσει τα αντίστοιχα κριτήρια σύγκλισης, αξιολογώντας παράλληλα την προοπτική λήψης απάντησης από κάθε κριτήριο. Τέλος, μπορεί να διακρίνει τη διαφορά μεταξύ σειράς και δυναμοσειράς, ως προς το ζητούμενο που για την τελευταία είναι ο υπολογισμός της περιοχής σύγκλισης.
- Κατανοεί τις βασικές έννοιες γύρω από τις πραγματικές συναρτήσεις (όριο, συνέχεια, παράγωγος) και είναι σε θέση να υπολογίσει παραγώγους χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης. Μπορεί να εφαρμόσει θεωρήματα που σχετίζονται με το διαφορικό λογισμό και κατ’ επέκταση να υπολογίσει το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά Taylor μιας δεδομένης συνάρτησης.
- Είναι σε θέση να εφαρμόσει τη διαδικασία μελέτης μιας πραγματικής συνάρτησης και να σχεδιάσει τη γραφική της παράσταση.
- Υπολογίζει αόριστα ολοκληρώματα, εφαρμόζοντας κάποια από τις τρεις κύριες μεθοδολογίες (κατά μέρη, κατά παράγοντες, με αντικατάσταση), αφού είναι σε θέση να εκτιμήσει τη μεθοδολογία που θα δώσει αποτέλεσμα.
- Διακρίνει την υφή του ορισμένου ολοκληρώματος από το αόριστο και είναι σε θέση να εφαρμόσει γνωστά θεωρήματα του ολοκληρωτικού λογισμού, για να πραγματοποιήσει τον υπολογισμό. Τέλος, μπορεί να εφαρμόσει τη σχετική θεωρία για τον υπολογισμό εμβαδών ή όγκων γεωμετρικών σχημάτων που περιγράφονται κατάλληλα.
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
α) Ελληνική
1. Αθανασιάδης Ανδρέας Γ., Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής και εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα, 4η έκδ./2001, ISBN: 960-8129-08-7, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Α.Ε.
2. Δημητρακούδης, Θεοδώρου, Κικίλιας, Κουρής, Παλαμούρδας , Διαφορικός Ολοκληρωτικός Λογισμός, 1η/2002, Εκδόσεις Δηρός Α.Ε.
3. Χ.Κ. Τερζίδης, Λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής με στοιχειά διανυσματικής & γραμμικής άλγεβρας, 2η έκδοση/2006, ISBN: 960-8183-56-1, Εκδόσεις Χριστοδουλίδου Ο.Ε.
β) Διεθνής
1. Stewart J., Single Variable Calculus, 3rd ed./1994, ISBN: 0534218288, Brooks/Cole Pub Co.
2. Thomas, G.B., Weir M.D., Hass, J., Thomas’ Calculus, 12th Edition, 2009, ISBN: 0321587995, Addison Wesley.
3. Strang G., Linear Algebra and its applications, 2009, Thomson, Brooks/Cole .
