Κύριος σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να πάρουν τις βασικές γνώσεις της Αριθμητικής Ανάλυσης με τη χρήση της γλώσσας προγραμματισμού C. Βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι: α) Η εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων παρουσιάζοντας τους ορισμούς των σφαλμάτων στρoγγύλευσης και αποκοπής, τα σφάλματα της μετατροπής πραγματικών δεκαδικών αριθμών σε αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floating point) στον Η/Υ και την μετάδοση αυτών των σφαλμάτων στις πράξεις μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής, β) Ο προσεγγιστικός υπολογισμός μαθηματικών σειρών και η προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού, γ) Η παρουσίαση και μελέτη προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων και πολυωνύμων και η δημιουργία των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίησή τους σε Η/Υ, δ)Η παρουσίαση και μελέτη άμεσων και προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, ε) Η μελέτη και παρουσίαση μεθόδων εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής από ένα πίνακα τιμών κάποιας άγνωστης συνάρτησης, ζ) Η παρουσίαση προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης ορισμένων ολοκληρωμάτων και η ανάπτυξη των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίηση ενδεικτικών παραδειγμάτων των παραπάνω μεθόδων και ο προγραμματισμός τους σε Η/Υ.Στο τέλος του εξαμήνου οι σπουδαστές θα πρέπει να είναι σε θέση, εφαρμόζοντας αριθμητικές μεθόδους, να λύνουν μαθηματικά προβλήματα και να μπορούν να γράψουν το πρόγραμμα κάθε αλγορίθμου που θα χρησιμοποιούν σε γλώσσα C.
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια θα είναι σε θέση να:
Στην τάξη και στο εργαστήριο
| Δραστηριότητα | Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου |
| Διαλέξεις | 13 x 3= 39 |
| Πρακτική εξάσκηση στο σπίτι, προετοιμασία ασκήσεων | 13 x 2 = 26 |
| Ασκήσεις στο εργαστήριο | 13 x2 = 26 |
| Επικοινωνία / συνεργασία | 8 |
| Αυτοτελής μελέτη | 18 x 4.5 = 81 |
| Σύνολο Μαθήματος (30 ώρες φόρτου εργασίας ανά πιστωτική μονάδα) | 180 |
Ι. Γραπτή τελική εξέταση (60%) στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος που περιλαμβάνει:
– Ερωτήσεις που αφορούν τον ορισμό των σφαλμάτων αποθήκευσης και τη μετάδοσή τους, την περιγραφή των μεθόδων επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων, των μεθόδων Επίλυσης Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων, των μεθόδων εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής, των μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης και τους αλγορίθμους προσομοίωσης των στοιχειωδών μαθηματικών συναρτήσεων των μαθηματικών Βιβλιοθηκών.
– Ερωτήσεις που αφορούν τη σύγκλιση των μεθόδων επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων και Επίλυσης Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων.
– Ασκήσεις που αφορούν στον υπολογισμό και τη μετάδοση των σφαλμάτων αποθήκευσης πραγματικών αριθμών σε Η/Υ, επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων και Επίλυσης Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων, εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής και αριθμητικής ολοκλήρωσης.
ΙΙ. Προαιρετικές εργασίες ( Projects ) σχετικές με άλλες μεθόδους γνωστές στη βιβλιογραφία, οι οποίες δεν είναι δυνατόν να καλυφθούν στα πλαίσια του μαθήματος και πασρουσίασή τους στις τελευταίες διαλέξεις του μαθήματος, με συμμετοχή 20% στη διαμόρφωση του τελικού βαθμού του θεωρητικού μέρους του μαθήματος.
ΙΙΙ. Εξάσκηση στο εργαστήριο (40%)
– Ασκήσεις για πρακτική εξάσκηση, σε εβδομαδιαία βάση
– Τελική εξέταση στο εργαστηριακό μέρος του μαθήματος με ασκήσεις
Το ως άνω σχήμα αξιολόγησης στο θεωρητικό και στο εργαστηριακό μέρος του μαθήματος γνωστοποιείται στους ενδιαφερόμενους φοιτητές (α) μέσω της ιστοσελίδας του τμήματος, (β) μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος https://aetos.it.teithe.gr/~gouliana/aa_theory.html,https://aetos.it.teithe.gr/~gouliana/aa_erg.htmlκαι (γ) με ανακοινώσεις στη διάρκεια των πρώτων διαλέξεων και συναντήσεων στο εργαστήριο κατά την έναρξη του κάθε ενός ακαδημαϊκού εξαμήνου.
α) Ελληνική
β) Διεθνής
The main goal of the course is the familiarization of the students to the basic concepts of Numerical Analysis and the implementation of some experimental algorithms using the C language.
At the end of the course students should be able to :
Understand the errors in computer arithmetic, the errors from using floating point arithmetic representation and the error propagation.
Simulate basic mathematical functions ( exp, sin, etc ) by using series.
Solve non-linear equations and systems of linear equations.
Learn methods for Linear Interpolation, Numerical Integration and Eigenvalues and Eigenvectors calculation.
The basic instruction set of C language.
The implementation of representatives of the above methods in C.
Key Contents
Computer arithmetic and round-off errors
Basic concepts in errors ( Sources of errors, absolute – relative errors, rounding – chopping )
Propagation of Errors
Floating point representation (Position system, significant digits, machine unit, floating point arithmetic errors)
Implementation of series
Elementary uses of series
Estimating the remainder
Solution of non-linear equations and finding roots of polynomials
Isolation of roots, Convergence, Rate of Convergence
The Bisection method
The Regula-Falsi method
The general theory of iteration methods
The Secant method
The Newton-Raphson method
Solution of linear systems of equations
Direct Methods ( Diagonal systems, Triangular systems, Gaussian elimination )
Iterative methods ( Gauss-Seidel method, Jacobi method )
Linear Interpolation
Finite differences and error estimates
Newton interpolation
Lagrange interpolation
Error estimates in interpolation formulas
Eigenvalues and Eigenvectors
The Power method
Eigenvalues by equation solving
Numerical Integration
The Trapezoidal formula
Newton-Cotes quadrature formulas
Simpson’s formula
Gaussian quadrature formula
Bibliograpy
Lecture notes for the theoretical part of the course ( in greek ) «Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών – Θεωρία, Παραδείγματα και Άλυτες Ασκήσεις». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2008.
Lecture notes for the practical part of the course ( lab ) ( in greek ) «Εργαστηριακές Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης στη Γλώσσα Προγραμματισμού C». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2007.
Atkinson Kendall E., “An Introduction to Numerical Analysis”, New York: Willey, 1989.
Dahlquist Germund –Bjorck Ake, “Numerical Methods”, Translated by Ned Anderson, NJ:
Prentice Hall, 1982.
Demidovitch B.P. – Maron I. A., “Computational Mathematics”, Translated by G. Yankofski:
Mir Publishers, Moskcow, 1976.
Fausett Laurene V., “Applied Numerical Analysis Using Matlab”, Upper Saddle River, NJ:
Prentice Hall, 1999.
Gill P., Murray W., Wright M., “Numerical Linear Algebra and Optimization, Volume I”, USA:
Addison-Wesley, 1991.
Kress Rainer, “Numerical Analysis”, New York, Hong Kong: Springer, 1988.
Schwartz H.R., “Numerical Analysis : a Comprehensive Introduction”, New York: Willey,1989.
